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可指两类数,第一类Stirling数和第二类Stirling数,都是由18世纪数学家James Stirling提出的。

Stirling数有两种,第一类和第二类Stirling数,它们自18世纪以来一直吸引许多数学家的兴趣,如欧拉、柯西、西尔沃斯特和凯莱等。后来哥本哈根(Copenhagen)大学的尼尔森(Niels Nielsen,1865-1931)提出了Stirlingschen Zahlen erster Art [第一类Stirling数]和Stirlingschen Zahlen zweiter Art [第二类Stirling数],首次把这两类数冠以「Stirling数」之名 。因为苏格兰数学家斯特林(J. Stirling, 1692-1770)首次发现这些数并说明了它们的重要性。

Stirling数的概念由J.Stirling于1730年提出,并在他的著作《Methodous Differentialis》中首次使用。

1958年,Riordan首先应用s(n,k)和S(n,k)来分别表示第一类Stirling数和第二类Stirling数,1770年,renge推导出了第一类Stirling数的递推关系和数论的性质。而P.S.Lapace和A.Cauchy则在第二类Stirling数的逼近理论上取得了一些成果。1933年,Ch.Jordan在他的一篇论文中对Stirling数做了彻底的阐述,并给出了一些Stirling数的重要性质。

Stirling数出现在许多组合枚举问题中。对第一类Stirling数

。表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。同时还分为无符号第一类Stirling数

第一类Stirling数表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。又根据正负性分为无符号第一类Stirling数

。有无符号Stirling数分别表现为其升阶函数和降阶函数的各项系数[类似于

。组合数学中的第一类Stirling数一般指无符号的第一类Stirling数。意思是n个不同元素构成m个圆排列的方案数。

(1)如果n个元素构成了m-1个圆排列,那么第n+1个元素独自构成一个圆排列。方案数:

(2)如果n个元素构成了m个圆排列,将第n+1个元素插入到任意元素的左边。方案数:

而有符号的第一类Stirling数可以从其表示的降阶函数归纳证明(简单写如下):

可以构成一个杨辉三角(pascal三角形)。同样第一类Stirling数同样也可以构成一个三角,可以由此分析其性质。

第一类Stirling除了表示可以表示升阶函数和降阶函数的系数之外还可以应用到一些实际问题上。例如很经典的解锁仓库问题。

问题说明如下:有n个仓库,每个仓库有两把钥匙,共2n把钥匙。同时又有n位官员。问如何放置钥匙使得所有官员都能够打开所有仓库?(只考虑钥匙怎么放到仓库中,而不考虑官员拿哪把钥匙。)那如果官员分成m个不同的部,部中的官员数量和管理的仓库数量一致。那么有多少方案使得,同部的所有官员可以打开所有本部管理的仓库,而无法打开其他部管理的仓库?(同样只考虑钥匙的放置。)

第一问很经典,就是打开将钥匙放入仓库构成一个环:1号仓库放2号钥匙,2号仓库放3号钥匙……n号仓库放1号钥匙。这种情况相当于钥匙和仓库编号构成一个圆排列方案数是

而第二问就对应的将n个元素分成m个圆排列,方案数就是第一类无符号Stirling数

该式子的通项公式求解略微繁琐,这边仅给出其生成函数。更具体的参考维基中的通项定义。

第二类Stirling数实际上是集合的一个拆分,表示将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数,记为

。和第一类Stirling数不同的是,集合内是不考虑次序的,而圆排列是有序的。常常用于解决组合数学中几类放球模型。描述为:将n个不同的球放入m个无差别的盒子中,要求盒子非空,有几种方案?

第二类Stirling数要求盒子是无区别的,所以可以得到其方案数公式:

第二类Stirling数的推导和第一类Stirling数类似,可以从定义出发考虑第n+1个元素的情况,假设要把n+1个元素分成m个集合则分析如下:

(1)如果n个元素构成了m-1个集合,那么第n+1个元素单独构成一个集合。方案数

(2)如果n个元素已经构成了m个集合,将第n+1个元素插入到任意一个集合。方案数 m*S(n,m) 。

0 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1

第二类Stirling数主要是用于解决组合数学中的几类放球模型。主要是针对于球之前有区别的放球模型:

②既然允许盒子为空,且盒子间有区别,那么对于每个球有m种选择,每个球相互独立。有方案数:

②既然盒子有区别,那么先不考虑空盒,对于每个元素有m种选择,方法数是:


更多精彩尽在这里,详情点击:https://lintonshafer.com/,斯特林显然包含了空盒的情况,且空盒数量是大于等于0的。为了方便说明,这边设存在空盒数是h的情况是

③自然想到计算空盒数大于等于1的情况就能求解。那么先选定一个空盒,剩余的再随便放置,方案数是:

。那么有h的空盒的情况被计算了几次?因为空盒必须要有一个出现在被选定的位置,那么重复数量是:

首先,还是一样先区分集合。因母函数一般是一维的项数,这边固定集合数量为m,设n为项数。则有:

两类Stirling数之间的递推式和实际含义很类似,事实上他们之间存在一个互为转置的转化关系: